大自然的隐秘技能:神奇的Fibonacci数列

百家 作者:科技日报 2022-02-23 22:59:23 阅读:251

科学也跨界,它总以意想不到的方式,无处不在。


看似呆板的数列中能呈现出炫彩的科学美感。不信?那就和中国科学院物理研究所曹则贤老师一起来了解下斐波那契数列的神奇幻化吧!



自然数是无穷多的。如果把一些数字按规律排成一排,就构成了一个数列。用函数表示就是数列 {an}。


如:偶数 2,4,6,8……

奇数1,3,5,7……

三角数1,3,6,10,15……

素数(原子)2,3,5,7,11,13,17……


将数列的项依次用加号连接起来的函数就是级数。由傅里叶级数 (Fourier series)发展的傅里叶分析技术是最有力的数学、物理工具。别不相信,展开成本征函数级数就是量子力学的基本操作。



人类历史中,意大利数学家斐波那契(Leonardo Fibonacci)是一个天才,年少时随着父亲在北非做生意,学习了阿拉伯数字。1202年,他撰写了《Liber Abaci(算书)》一书,向西方传播印度-阿拉伯的数字系统。


阿拉伯数字体系让数学、物理学成为可能。数学、物理就是用阿拉伯数列、拉丁+希腊字母表示的,这是所有想要从事科学研究的人都必须掌握的一套话语体系!


在《Liber Abaci(算书)》一书中,斐波那契提出了一个有趣的问题:有一对成年兔子,每隔一个月就生一对小兔子,而小兔子一个月后也成年了加入生小兔子的行列,如果每对兔子都经历这样的出生、成熟、生育的过程,并且永远不死,问N个月后有多少对兔子?我们不妨用树状图展示一下:



用数列表示为:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…...数列中的每一项都被称为斐波那契数,用符号Fn表示。F(0)=1,F(1)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)(n ≥ 2,n ∈ N)。


这就是著名的斐波那契数列(Fibonacci数列),也叫做“兔子数列”。


虽然很有意思,但是,就这?斐波那契数列对人类发展有什么意义?


每一个数学、物理对象后面都有太多我们不知道、或者知道了也理解不了的内容。我们理解不了,科学家们却能理解。


在数学中,杨辉三角形是出现在概率论、组合学和代数中的二项式系数的三角形数组。斐波那契数列与杨辉三角形(即,帕斯卡三角形)有关联,杨辉三角形中的对角线之和,是斐波那契数,如图所示:



1611年,著名天文学家开普勒在《Strena seu de Nive Sexangula (六角雪花) 》一书中指出:斐波那契数列收敛于黄金分割数:


当数列趋于无穷大时,斐波那契数列中的数字之比无限接近黄金分割比,即1.618033987498948482…...


黄金分割数暗藏玄机。无论是数学计算或者物理研究,总会不知道哪里就冷不丁冒出来黄金分割数。


按斐波那契数列,取边长分别为1、1、2、3、5、8、13、21......的正方形,以各正方形的一个顶点为圆心画出四分之一的曲线,再连接所有曲线,最后形成的螺旋线就是下图所示的“斐波那契螺旋线”:



黄金分割数是美学的重要基础。人们根据黄金分割数进行建筑设计、艺术雕塑。从古至今,许多神秘建筑都遵循着黄金分割的规律,比如金字塔的斜面三角形高与底面半边长之比。美神维纳斯雕塑就是黄金分割数的完美展示。艺术家不用太懂数学,但不懂黄金分割数就成不了合格的艺术家。



人们在各个领域都发现了斐波那契数列。生活中最典型的斐波那契数列应用是在植物学中。人类在观察大自然时发现:树木生长的过程中会长出分枝,如果我们从下到上去数分枝的个数,就会发现依次是1、1、2、3、5、8、13…...刚好是斐波那契数列。大自然的花朵各有各的美丽,但几乎每朵花瓣的总数都会选择斐波那契数列的数字:3,5,8,13……


植物学中的叶序也完全符合斐波那契数列。叶序学就是一门研究植物上的植物学单元(器官)排列的学问。植物的叶子排列呈螺旋式向上,不同植物的叶序周均呈现斐波那契数列的排列规律。



植物学中,斐波那契斜列螺旋也十分常见。斐波那契斜列螺旋既可以看作一组逆时针螺旋,也可以看作是一组顺时针螺线,这两种情形下的螺旋数目是斐波那契数列中的相邻两数。我们熟悉的向日葵花盘、松果种子、菠萝上的鳞片都完美符合这一特性。


有科学家推测,斐波那契斜列螺旋是圆锥面上全同单元的密堆积,这样有利于植物种子堆积、繁衍后代。所以,大自然中蕴含着无穷的奥秘,要学会用数学、物理的眼光去看她。洞察自然的奥秘,是人类对自然的礼赞。



800多年过去了,神奇的斐波那契数列不断被人类验证,更被广泛运用到了计算机、物理、化学等领域,让这个古老的数列焕发了新的青春。


计算机编程中,在很多C语言教科书中讲到递归函数的时候,都会用斐波那契数列作为例子。斐波那契数列还被纳入到了从小学到大学各个阶段的数学课程。


现代物理学中,依据斐波那契数列,可以计算出黄金分割数、白银分割数、白金分割数的三维物理空间的准周期。量子力学中,两粒子纠缠态、量子临界点研究也离不开斐波那契数列。


化学领域,无机材料用应力工程再现了斐波那契数列斜列螺旋的奥妙。斐波那契数列还被广泛运用到了股市中,用以揭示股票涨落的奥秘……





来源:科技日报

编辑:张爽

审核:岳靓

终审:何屹


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